Né d’une famille de musiciens, András Fejér a commencé l’étude du violoncelle à l’âge de sept ans. Son père était violoncelliste et chef d’orchestre et sa mère était pianiste; depuis son plus jeune âge, ses parents organisaient des soirées de quatuor à cordes, moments restés des plus mémorables pour le jeune violoncelliste.
M. Fejér a été admis à l’Académie de musique Franz Liszt en 1975, où il a été l’élève d’Ede Banda, d’András Mihály, de Ferenc Rados et de György Kurtág. La même année, il fonda le quatuor Takács avec trois camarades de classe.
Bien que le quatuor ait été son seul objectif professionnel depuis lors, il se produit aussi occasionnellement en tant que soliste.